Inside CG transformation (I).

对于学习计算机图形学的人来说，对其中的几个变换开始时往往有些难以理解。就算理解了，也是一知半解。不过，一般的图形学编程来说，不用深入这些变换照样能够编写程序。有些人学了4、5年图形学，但是还没有完整的推导或者实践一下这几个关键的变换，因为这耗时，而且得沉住气，但往往收获也是巨大的。

前几天，看到Cg的OpenGL examples中有一个“08_vertex_transform”例子，所以的这几个变换都有程序实现，我就决心来深入一下这几个变换。

先要明白两点：
首先，OpenGL采用列向量矩阵，所以几个相应矩阵按照左乘的方式进行，也就是：
最终的投影矩阵 modelViewProj = projectionMatrix * viewMatrix * modelMatrix。modelMatrix中平移、旋转缩放同样符合这种顺序。

第二，对于3D程序来说，一般情况下viewMaxtrix和projectMatrix只需设置一次即可, 产生动画通过变换modelMatrix达到。当然，如果你变换viewMaxtrix，也能达到动画的效果。在gl中采用两个函数gluLookAt和gluPerspective来设置这两个矩阵。

下面来看看这几个变换。

模型变换时最容易理解的，涉及旋转、平移和缩放。在OpenGL中的glRotate，glTranslate和glScale.目前，Cg的这个例子没有完成Scale的变换，我自己写的，很简单。先给出平移和缩放的矩阵构建代码。
static void makeTranslateMatrix(float x, float y, float z, float m[16])
{
m[0] = 1; m[1] = 0; m[2] = 0; m[3] = x;
m[4] = 0; m[5] = 1; m[6] = 0; m[7] = y;
m[8] = 0; m[9] = 0; m[10] = 1; m[11] = z;
m[12] = 0; m[13] = 0; m[14] = 0; m[15] = 1;
}

static void makeScaleMatrix(float ax, float ay, float az, float m[16])
{
m[0] = ax; m[1] = 0; m[2] = 0; m[3] = 0;
m[4] = 0; m[5] = ay; m[6] = 0; m[7] = 0;
m[8] = 0; m[9] = 0; m[10] = az; m[11] = 0;
m[12] = 0; m[13] = 0; m[14] = 0; m[15] = 1;
}

而旋转要复杂一点，因为要考虑任意向量V，当然这个向量是从原点出发的（要是任意轴旋转，轴的端点可以是任意两点）。5个步骤如下：
1. 绕x轴将向量V旋转a角度到xoz平面，记为Tx(a)；
2. 绕y轴将向量V旋转b角度到与x轴重合，记为Ty(b);
3. 将物体绕x轴（向量V）旋转θ角度，记为Tx(θ);
4. 2的逆过程，记为Ty(-b);
5. 1的逆过程，记为Tx(-a)；

为方便起见，将向量V归一化, 得到Vn（v0,v1,v2）。由此 可知
cosa = v2/sqrt(v1^2+v2^2);
cosb = v0;

再加这个Tx(a)变换，其他类似：
x′＝x
y′＝ycosθ－zsinθ
z′＝ysinθ＋zcosθ

这些信息都清楚了，何不手工算一下这个旋转矩阵呢？多准备一点草稿纸，肯定能得出最后结果。旋转变换矩阵有些麻烦，直接给代码：

static void makeRotateMatrix(float angle, float ax, float ay, float az,float m[16])
{
float radians, sine, cosine, ab, bc, ca, tx, ty, tz;
float axis[3];
float mag;

axis[0] = ax;
axis[1] = ay;
axis[2] = az;
mag = sqrt(axis[0]*axis[0] + axis[1]*axis[1] + axis[2]*axis[2]);
if (mag)
{
axis[0] /= mag;
axis[1] /= mag;
axis[2] /= mag;
}
//normalizing above

radians = angle * myPi / 180.0;
sine = sin(radians);
cosine = cos(radians);
ab = axis[0] * axis[1] * (1 - cosine);
bc = axis[1] * axis[2] * (1 - cosine);
ca = axis[2] * axis[0] * (1 - cosine);
tx = axis[0] * axis[0];
ty = axis[1] * axis[1];
tz = axis[2] * axis[2];

m[0] = tx + cosine * (1 - tx);
m[1] = ab + axis[2] * sine;
m[2] = ca - axis[1] * sine;
m[3] = 0.0f;

m[4] = ab - axis[2] * sine;
m[5] = ty + cosine * (1 - ty);
m[6] = bc + axis[0] * sine;
m[7] = 0.0f;

m[8] = ca + axis[1] * sine;
m[9] = bc - axis[0] * sine;
m[10] = tz + cosine * (1 - tz);
m[11] = 0;

m[12] = 0;
m[13] = 0;
m[14] = 0;
m[15] = 1;
}

至此，模型变换已完成。