梯度: 运算的对像是纯量,运算出来的结果会是向量在一个纯量场中,梯度的计算结果会是"在每个位置都算出一个向量,而这个向量的方向会是在任何一点上从其周围纯量值最小处指向周围纯量值最大处.
例子：举例子来讲会比较简单,如果现在的纯量场用一座山来表示,纯量值越大的地方越高,反之则越低.经过梯度这个运操作数的运算以后,会在这座山的每一个点上都算出一个向量,这个向量会指向每个点最陡的那个方向,而向量的大小则代表了这个最陡的方向到底有多陡.
散度: 运算的对像是向量,运算出来的结果会是纯量。散度的作用对像是向量场,如果现在我们考虑任何一个点(或者说这个点的周围极小的一块区域),在这个点上,向量场的发散程度,如果是正的,代表这些向量场是往外散出的；如果是负的,代表这些向量场是往内集中的.
例子: 因为散度的作用对像是向量场,所以就不能用上面所讲的山来想象,这次要想象一个大广场里挤了很多人,如果每个人都在到处走动,是不是可以把每个人的行动都看成是一个向量,假如现在某人放了一个屁,周围的人(可能包含他自己)都想要赶快闪远一点,就会发现,在这块区域的人都往这小块区域以外的方向移动.对啦..这就是散度(你也可以想说是闪远一点的闪度....冷....),
大家如果散得越快,散得人越多,这个散度算出来就就越大.
旋度: 运算的对像是向量,运算出来的结果会是向量。旋度的作用对象也是向量场。
例子:如果现在散开的众人都是直直的往那个屁的反方向散开,这时候你看到这些人的动线是不是就是一个标准的幅射状??不过事实上,每个人在闻到屁的时候是不会确切的知道屁到底是来自哪个方向的.而可能会走错方向,试过之后才发现不对劲,越找越臭.这时候你看到众人的走向不见得就是一个幅射状(大家都径向移动),而可能有一些切向移动的成份在(以屁发点为中心来看)旋度对应的就是这些切向移动的情况,相对来讲,散度对应的其实就是径向移动的情况.而一个屁,虽然可能会像上述的造成一些切向的移动,但理论上来讲,并不会使散开的众人较趋向于顺时钟转,或逆时钟转.在这种情况,顺时钟转的情况可以看作与逆时钟转的情况抵消,因此,在这情况下,旋度仍然是零.也就是说,一个屁能造成散度,而不会造成旋度....
而甚么时候是有旋度的呢??如果这时候音乐一放,大家开始围着中间的营火手拉手跳起土风舞(当然是要绕着营火转的那种啦)这时候就会有旋度没有散度啦.(刚刚一直放屁的那位跑出去找厕所的除外)
以上这三个,有一点一定要记得的.
不论是梯度,散度,旋度,都是一种local的量(纯量,向量),所考虑的都是任何一点(其周围极接近,极小的小范围)的情况.以上举的例子因为要容易了解,所以都是针对二度空间向量为例,而且都是很大的东西,但广场是一个点,营火晚会也是一个点,纳须弥于芥子,这就请自行想象吧.
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简单来说 在三维空间里 对一个面做三维的梯度计算得到得向量就是垂直那个面的法线向量 因为沿著法线的「值」变化最大.
散度的感觉像是点的通量(还是通量密度?) 比方在三维空间中,圈出一个封闭曲面; 通量即该向量(的垂直平面分量)穿过平面的大小 如果缩小封闭曲面的大小到一个点; 该点的通量(通量密度)就是散度.一般点的散度为0 当散度不为0的点表示该点有提供source.
从水流的角度来看 就是那里有水源不断冒出(或流入)
旋度(原PO的卷度?)像是没有流出的量 比方在三维空间中圈出一个很小很小的曲面,旋度即该向量(的平行平面分量)延平面的大小密度(即大小/面积),旋度不为0表示有量在该平面「逗留.
从水流的角度来看 就是有涡流的现象.
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